Question

【題目】如果方程cos2x－sinx＋a＝0在(0，]上有解，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(－1,1]．

【解析】

試題即求函數f(x)＝－cos2x＋sinx值域，先轉化為關于sinx二次函數，再根據對稱軸與定義區間位置關系確定值域，進而得到a的取值范圍．

試題解析：解　方法一　設f(x)＝－cos2x＋sinx(x∈(0，])．

顯然當且僅當a屬于f(x)的值域時，a＝f(x)有解．

因為f(x)＝－(1－sin2x)＋sinx

＝(sinx＋)2－，

且由x∈(0，]知sinx∈(0,1]．

易求得f(x)的值域為(－1,1]．

故a的取值范圍是(－1,1]．

方法二　令t＝sinx，由x∈(0，]，可得t∈(0,1]．

將方程變為t2＋t－1－a＝0.

依題意，該方程在(0,1]上有解．

設f(t)＝t2＋t－1－a.

其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸t＝－，

如圖所示．

因此f(t)＝0在(0,1]上有解等價于

即所以－1<a≤1.

故a的取值范圍是(－1,1]．