Question

【題目】有人提出了一種不用火箭發射人造地球衛星的設想．其設想如下：沿地球的一條弦挖一通道，如圖甲所示．在通道的兩個出口處A和B，分別將質量為M的物體和質量為m的待發射衛星同時自由釋放，只要M比m足夠大，碰撞后，質量為m的物體，即待發射的衛星就會從通道口B沖出通道．設待發衛星上有一種裝置，在待發衛星剛離開出口B時，立即把待發衛星的速度方向變為沿該處地球切線的方向，但不改變速度的大小．這樣待發衛星便有可能繞地心運動，成為一個人造衛星．若人造衛星正好沿地球表面繞地心做圓周運動，則地心到該通道的距離為多少？已知M=20m，地球半徑．假定地球是質量均勻分布的球體，通道是光滑的，兩物體間的碰撞是彈性的．

Answer 1

【答案】

【解析】

位于通道內、質量為m的物體距地心O為r時（如圖乙所示），它受到地球的引力可以R。表示為

①

式中是以地心O為球心、以r為半徑的球體所對應的那部分地球的質量，若以表示地球的密度，此質量可以表示為

②

于是，質量為m的物體所受地球的引力可以改寫為

． ③

作用于質量為m的物體的引力在通道方向的分力的大小為

， ④

， ⑤

為r與通道的中垂線OC間的賣角，x為物體位置到通道中點C的距離，力的方向指向通道的中點C．在地面上物體的重力可以表示為

⑥

式中是地球的質量。由上式可以得到

． ⑦

由以上各式可以求得

． ⑧

可見，f與彈簧的彈力有同樣的性質，相應的“勁度系數”為

． ⑨

物體將以C為平衡位置做簡諧振動，振動周期為．取x=0處為“彈性勢能”的零點，設位于通道出口處的質量為m的靜止物體到達x=0處的速度為，則根據能量守恒，有

， ⑩

式中h表示地心到通道的距離．

解以上有關各式，得

可見，到達通道中點C的速度與物體的質量無關．

設想讓質量為M的物體靜止于出口A處，質量為m的物體靜止于出口B處，現將它們同時釋放，因為它們的振動周期相同，故它們將同時到達通道中點C處，并發生彈性碰撞．碰撞前，兩物體速度的大小都是，方向相反，剛碰撞后，質量為M的物體的速度為V，質量為m的物體的速度為v，若規定速度方向由A向B為正，則有

，

解式和式，得．

質量為m的物體是待發射的衛星，令它回到通道出口B處時的速度為u，則有

由式和⑨解得

u的方向沿著通道．根據題意，衛星上的裝置可使u的方向改變成沿地球B處的切線方向，如果u的大小恰能使小衛星繞地球做圓周運動，則有

由式并注意到式⑥，可以得到，

已知，則得．