Question

【題目】已知函數f（x）=|2x﹣1|，x∈R．
（1）解不等式f（x）≥2﹣|x+1|；
（2）若對于x，y∈R，有 ， ，求證：f（x）＜1．

Answer 1

【答案】
（1）解：不等式化為|x+1|+|2x﹣1|≥2，

①當 時，不等式為3x≥2，解得 ，故 ；

②當 時，不等式為2﹣x≥2，解得x≤0，故﹣1≤x≤0；

③當x＜﹣1時，不等式為﹣3x≥2，解得 ，故x＜﹣1，

綜上，原不等式的解集為 ；

（2）解：證明：f（x）=|2x﹣1|=|2（x﹣y﹣1）+（2y+1|≤2|x﹣y﹣1|+|2y+1|≤2× + = ＜1．
【解析】（1）通過討論x的范圍，解不等式，取并集即可；（2）根據絕對值的性質證明即可．
【考點精析】利用絕對值不等式的解法對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．