Question

【題目】如圖甲所示，在半徑為a的圓柱空間中（圖中圓為其橫截面）充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的均勻磁場(chǎng)，其方向平行于軸線遠(yuǎn)離讀者。在圓柱空間中垂直軸線平面內(nèi)固定放置一絕緣材料制成的邊長(zhǎng)為的剛性等邊三角形框架DEF，其中心O位于圓柱的軸線上。DE邊上S點(diǎn)處有一發(fā)射帶電粒子的源，發(fā)射粒子的方向皆在圖中截面內(nèi)且垂直于DE邊向下。發(fā)射粒子的電量皆為，質(zhì)量皆為m，但速度v有各種不同的數(shù)值。若這些粒子與三角形框架的碰撞均為完全彈性碰撞，并要求每一次碰撞時(shí)速度方向垂直于被碰的邊。試問(wèn)：

(1)帶電粒子速度v的大小取哪些數(shù)值時(shí)可使S點(diǎn)發(fā)出的粒子最終又回到S點(diǎn)？

(2)這些粒子中，回到S點(diǎn)所用的最短時(shí)間是多少？

Answer 1

【答案】(1) ，n=4，5，6，… (2)

【解析】

帶電粒子（以下簡(jiǎn)稱粒子）從S點(diǎn)垂直于DE邊以速度v射出后，在洛侖茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其圓心一定位于DE邊上，其半徑R可由求得

。 ①

(1)要求此粒子每次與的三條邊碰撞時(shí)都與邊垂直，且能回到S點(diǎn)，則R和v應(yīng)滿足以下條件：

(ⅰ)與邊垂直的條件。

由于碰撞時(shí)速度v與邊垂直，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圓的圓心一定位于三角形的邊上，粒子繞過(guò)三角形頂點(diǎn)D、E、F時(shí)的圓弧的圓心就一定要在相鄰邊的交點(diǎn)（即D、E、F）上。粒子從S點(diǎn)開(kāi)始向右做圓周運(yùn)動(dòng)，其軌跡為一系列半徑為R的半圓，在SE邊上最后一次的碰撞點(diǎn)與E點(diǎn)的距離應(yīng)為R，所以的長(zhǎng)度應(yīng)是R的奇數(shù)倍。粒子從FD邊繞過(guò)D點(diǎn)轉(zhuǎn)回到S點(diǎn)時(shí)，情況類似，即的長(zhǎng)度也應(yīng)是軌道半徑的奇數(shù)倍。取，則當(dāng)的長(zhǎng)度被奇數(shù)除所得的R也滿足要求，即

。

因此為使粒子與三角形各達(dá)發(fā)生垂直碰撞，R必須滿足下面的條件：

，n=1，2，3，…。 ②

此時(shí)，n=1，2，3，…。

為的奇數(shù)倍的條件自然滿足。只要粒子繞過(guò)E點(diǎn)與EF邊相碰，由對(duì)稱關(guān)系可知，以后的碰撞都能與三角形的邊垂直。

（ⅱ）粒子能繞過(guò)頂點(diǎn)與三角形的邊相碰的條件。

由于磁場(chǎng)局限于半徑為a的圓柱范圍內(nèi)，如果粒子在繞E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)圓軌跡與磁場(chǎng)邊界相交，它將在相交點(diǎn)處以此時(shí)的速度方向沿直線運(yùn)動(dòng)而不能返回。所以粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R不能太大，由題圖見(jiàn)，必須（三角形的頂點(diǎn)沿圓柱半徑到磁場(chǎng)達(dá)界的距離時(shí)，粒子圓運(yùn)動(dòng)軌跡與圓柱磁場(chǎng)邊界相切），由給定的數(shù)據(jù)可算得

。 ③

將n=1，2，3，…，分別代入②式，得

，；

，；

，；

，。

由于，，，這些粒子在繞過(guò)三角形的頂點(diǎn)E時(shí)，將從磁場(chǎng)邊界逸出，只有的粒子能經(jīng)多次碰撞繞過(guò)E、F、D點(diǎn)，最終回到S點(diǎn)。由此結(jié)論及①②兩式可得與之相應(yīng)的速度為

，n=4，5，6，…。④

這就是由S點(diǎn)發(fā)出的粒子與三角形的三條邊垂直碰撞并最終又回到S點(diǎn)時(shí)，其速度大小必須滿足的條件。

(2)這些粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為

。

將①式代入，得。 ⑤

可見(jiàn)在B及給定時(shí)T與v無(wú)關(guān)。粒子從S點(diǎn)出發(fā)最后回到S點(diǎn)的過(guò)程中，與三角形的達(dá)碰撞次數(shù)愈少，所經(jīng)歷的時(shí)間就愈少，所以應(yīng)取，如圖乙所示（圖中只畫出在邊框DE的碰撞情況），此時(shí)粒子的速度為，由圖可看出該粒子的軌跡包括個(gè)半圓和3個(gè)圓心角為300°的圓弧，所需時(shí)間為

。 ⑥

以⑤式代入得。 ⑦