Question

【題目】如圖所示，課桌面與水平面夾角成，在桌面上放一支正六棱柱形鉛筆，欲使鉛筆既不向下滾動、又不向下滑動。

（1）求在此情況下鉛筆與桌面的靜摩擦因數.

（2）鉛筆的軸與斜面母線（斜面與水平面的交線）應成多大的角度放置？

Answer 1

【答案】

【解析】

根據我們學習生活的經驗，在傾斜桌面上放一支六棱柱形鉛筆，當筆桿垂直于斜面母線時，最不易滾下來而會先發生滑動. 事實上，放置在斜面上的鉛筆恰能處于平衡，必有，式中為最大靜摩擦力，為鉛筆質量.

則，即摩擦角恰等于斜面傾角.

若，放置在斜面上的筆無論以怎樣的角放置，總不會因發生滑動而破壞平衡.

但是，還有一個向下移動的問題存在. 就“穩度”而言，當角為某一臨界值時，重力作用線超出斜面對鉛筆的支持面，則鉛筆會在重力矩作用下離開原平衡位置而滾下來，現在來求這個角.

如圖乙所示，陰影部分表示筆與桌的接觸面，正六邊形表示筆的橫截面，為筆的質心，它在斜面上的投影為，重力作用線從接觸面“擦邊而過”. 由圖示幾何關系可知，為正六邊形邊長；；；（注意：垂直于斜面母線，垂直于棱線）.

在臨界狀態下，，故.

只要重力作用線落在陰影區內，即有.

即，筆就不會滾動，故放置筆時，應使鉛筆的軸與斜面母線所成的角為.

在競賽物理中，很多靜平衡問題涉及空間問題，由于學生中相當部分的任缺乏空間想象力，空間問題成為中學階段學生的難點之一.

在靜力學中的空間問題，除了模型結構的幾何關系外，必然將作用力的方向牽扯進來，其作用力系衍變為復雜的空間力系，我們處理這類問題的方法或者是通過降維的方式，將空間力系轉化為幾個平面力系進行處理，或者是直接進行相應的矢量運算. 不論是什么方法，都需要我們在常規教學的基礎上補充知識，強化我們的空間想象力.