Question

【題目】有一根玻璃棒，材料折射率為，橫截面為等邊三角形.在一張白紙上畫一組平行直線，如圖所示，將棒置于平行線上，棒軸與平行線夾角為.如果人在玻璃棒上方較遠處垂直紙面觀察，試討論：當取哪些不同的值時，人通過玻璃棒將會看到什么樣的圖像？畫出這些情況下人看到的圖像的形狀.

注：除全反射外不考慮其他反射，分析過程不做要求，給出的取值范圍和對應的圖像形狀即可.

Answer 1

【答案】（1）時，圖像如圖甲所示（2）時，圖像如圖乙所示（3）時，圖像如圖丙所示。

【解析】

因為人在離玻璃棒較遠處垂直紙面觀察，所以射出玻璃棒的光只有垂直于紙面才能被人觀察到.考察這些光線在玻璃棒中的折射和全反射情況，由于對稱性只考慮從一側（右側）射出的光

當折射率較小時，光路如圖1所示，所有從右側射出的光都是由底邊直接射過來的，由圖可知，實際看到點的位置比實際位置更加靠右（棱鏡底邊），比如從、、點射出的光經棱鏡折射后，實際成像是在、、點.據此分析，可畫出此情況下人觀察到的圖像，如圖2，圖中虛線為被玻璃棒擋住的部分，不一定要畫出，

當玻璃的折射率比較大時，垂直紙面射出的光不再全是由底面直接折射而出，而會有一部分光線是先通過左側全反射后再由右側折射而出，如圖4所示.而作為臨界情況，光路如圖3所示，容易求得圖3光路達成的條件是.所以可以確定圖1光路和圖2圖像形成的條件為。

現在分析時的情況（時容易驗證左側一定會發生全反射）.由底面射出直接折射而出的光線，其視覺效果應與圖2一樣；而通過左側全反射再由右側折射出的光，其形成的圖線走向應與圖2相反.所以可畫出圖；像如圖5所示，虛線為輔助線，不必一定畫出.；當折射率進一步增大時，如圖4所示，角不斷減小，而角不斷增加，角為從紙面經空氣進入玻璃的折射角，根據折射規律，角最多為，所以當足夠大時，不會再有光線能夠從底面進入玻璃棒直接從右側射出且被人看到.現在求此情況出現的臨界條件.

由，，可得.

所以圖5所示的圖像應為時的情況.當時，圖4中直接折射而出的那些光路不再存在，圖像應為圖6所示，

幾何光學無疑要求答題都具備較強的幾何駕馭能力，包含著空間問題的駕馭能力.可以說，本題是鑒別學生空間問題處理能力與幾何能力強弱的典型試題.它除了要求答題者能對“人在玻璃棒上方較遠處垂直紙面觀察”的描述還原成出射光線垂直于紙面外，答題者還必須對形成這樣的出射光線的光路的走向，實際看到影像的平面特征作出正確的分析判斷，答題者如無極強的空間想象力與嚴謹的思維能力，則無法對其光路作出正確的描述與呈現.同時，棱鏡不同的折射率又直接影響著全反射的發生與出射的光路，從而影響到圖像呈現的平面形態，而這又要求答題者具備極為嚴謹而又全面的思維及處理光的折射計算的能力，所以，本題是一道綜合能力很強，難度極大的試題.本題還存在著一種變式，即將本題中的三棱玻璃棒換成圓柱形玻璃棒，再來討論相關問題，讀者不妨作相應的延伸與討論。