Question

【題目】[選修4-5：不等式選講]已知函數f（x）=|2x﹣a|+a．
（1）當a=2時，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）設函數g（x）=|2x﹣1|，當x∈R時，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當a=2時，f（x）=|2x﹣2|+2，

∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，

|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，

∴﹣2≤x﹣1≤2，

解得﹣1≤x≤3，

∴不等式f（x）≤6的解集為{x|﹣1≤x≤3}

（2）

解：∵g（x）=|2x﹣1|，

∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，

2|x﹣ |+2|x﹣ |+a≥3，

|x﹣ |+|x﹣ |≥ ，

當a≥3時，成立，

當a＜3時， |a﹣1|≥ ＞0，

∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，

解得2≤a＜3，

∴a的取值范圍是[2，+∞）

【解析】（1）當a=2時，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．
（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣ |+|x﹣ |≥ ，由此能求出a的取值范圍．
本題考查含絕對值不等式的解法，考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意不等式性質的合理運用．