Question

【題目】設不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集為M，a，b∈M．
（Ⅰ）證明：| a+ b|＜ ；
（Ⅱ）比較|1﹣4ab|與2|a﹣b|的大�。�

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）記f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|= ，

由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣ ＜x＜ ，則M=（﹣ ， ）．

∵a、b∈M，∴|a|＜ ，|b|＜ ，

∴| a+ b|≤ |a|+ |b|＜ ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得a2＜ ，b2＜ ．

因為|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）

=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，

所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．

【解析】（I）先解絕對值不等式，再利用絕對值三角不等式可證明| a+ b|＜ ；（II）由（I）可得a2和b2，利用作差法比較|1﹣4ab|2與4|a﹣b|2的大小，從而可得|1﹣4ab|與2|a﹣b|的大�。�
【考點精析】認真審題，首先需要了解絕對值不等式的解法(含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號)．