Question

【題目】有兩把齒距不同的梳子，其中一把每厘米有4個齒，另一把每厘米有5個齒。如圖所示，今將它們重疊起來，再透過其齒間的縫隙去看亮光，則可以看到亮段和暗段交替出現。如果把其中的一把梳子以的速度移動，問：亮的部位將以多大的速度移動？

Answer 1

【答案】當白色梳子不動，此時亮段移動速度方向是向右的，即亮段移動速度方向與移動的梳子（黑梳子）的移動速度方向是相同的。當黑色梳子不動，此時亮段移動速度方向是向左的，即亮段移動速度方向與移動的梳子（白梳子）的移動速度方向是相反的。

【解析】

如圖所示,我們以黑、白兩色的梳子表示題述的兩梳子,它們重疊在一起,其中白色梳子每厘米有4個齒,黑色梳子每厘米有5個齒.圖中A處兩梳子的齒剛好重疊在一起顯然,兩梳子的齒重疊后,在A處附近透光的間隙較多.透過它去看亮光,這里就是一個“亮段”的中心,而圖中B處兩梳子的齒相互錯開的距離最大,這里能透光的間隙就最小,故此處是一個“暗段”的中心,當兩梳子間有相對運動時,這些亮段和暗段會隨之移動.明顯可以看到,當發生移動時,亮段和暗段的移動速度是相同的.以下我們僅討論亮段的移動速度。

(1)當白色梳子不動,黑色梳子以速度向右移動時,設原來黑、白兩梳子的對應兩齒剛好在A處重疊,則由于黑色梳子的移動,接著發生的便是緊鄰A處右側的那個黑色梳齒和白色梳齒重疊,這相當于上述亮段的中心由A處移至A右側第一個白色梳齒處,由此,這段移動的距離為白色梳子的齒距,即

.

這一過程中黑色梳子移動的距離為黑、白兩梳子的齒距之差,即

以表示此時亮段移動的速度,有,

所以,.

從敘述中還可以看到,此時亮段移動速度方向是向右的,即亮段移動速度方向與移動的梳子(黑梳子)的移動速度方向是相同的.

(2)當黑色梳子不動而白色梳子以速度向右運動時,同樣設原來黑、白兩梳子對應的兩齒剛好在A處重疊,則由于白梳子的移動,接著發生的便是緊鄰A處左側的那個黑色梳齒和白色梳齒相重疊.這相當于上述亮段的中心由A處移至A左側第一個黑色梳齒處,這一過程中亮段移動的距離為黑色梳子的齒距,即.

這一過程中白色梳子移動的距離為黑、白兩梳子的齒距之差,即。

以表示此時亮段移動的速度,有

，

所以,.

從敘述中還可以看到,此時亮段移動速度方向是向左的,即亮段移動速度方向與移動梳子(白梳子)的移動速度方向是相反的。

對本題,有人認為亮段移動的速度應該等于梳子移動的速度,這是因為對亮段和暗段如何形成沒有作具體分析而想當然的想法,正確的思路應該是由亮段的形成機理出發來理解亮段的移動,這里值得注意的不僅是亮段移動速度的大小與梳子移動速度的大小不等,而且這兩個速度的方向也可能不同。

與本題描述的情景十分相似的例子是游標卡尺的使用,當移動游標卡尺的游標尺(設其主尺不動)時,游標尺上的刻度線和主尺上的刻度線互相正對的位置也隨之移動,這個兩尺上刻度線正對的位置就相當于本題中的亮段中心或暗段中心,其移動速度與游標尺的移動速度也是不同的。