Question

【題目】如圖所示，一個圓柱形容器，高為h，半徑為a，容器中裝有高度為的液體。容器繞它豎直方向的軸以角速度旋轉(zhuǎn)。忽略任何表面張力的效應(yīng)，求使液體不溢出容器邊緣的最大角速度的表達式。

Answer 1

【答案】

【解析】

原則上，本題既可用力來進行處理，也可以用勢來處理，這里選擇后者。

在轉(zhuǎn)動參考系中討論，本問題屬于靜平衡的問題。在轉(zhuǎn)動參考系中，液體表面靜止不動，無表面方向的流動，即平衡的表面是一個等勢面（慣性離心力和重力作用的結(jié)果）。

在轉(zhuǎn)動系中，由于總的力場是由兩個力場組成的，每個分力場的勢能零點可以獨立地選定（其和最多差一個常量）。

離心力勢能：將勢能零點選擇于處，則

。

重力勢能：將勢能零點選擇于處，則

。

所以，整個曲面在選擇最低點作為原點的條件下，表面的勢能為零，寫出方程：

，即。

液體不溢出容器的為曲面所圍的在容器內(nèi)的容積正好等于整個容器體積的，即

，可得。

又滿足，

則。