Question

【題目】如圖所示，一個沙漏（古代的一種計時器）置于一個臺秤上，初始時瓶中所有沙子都放在上面的容器中，瓶的質量為M，瓶中沙子的質量為m。在時，沙開始被釋放并流入下面的容器中，沙子以常數的質量變化率離開上面的容器。請畫出（并定量標明）一個圖，給出在的全部時間內秤的讀數。

Answer 1

【答案】

【解析】

沙子由上面的容器到下面的容器所用的時間為

沙子碰到下容器前的速度為。

（1）．在沙子開始下落到沙子開始碰到下容器底部前的一段時間，，盤秤的讀數為

。

（2）從沙子開始碰到下容器直到全部沙子離開上容器那一段時間，（為全部沙子離開上容器的時刻），沙子對容器的作用可分為兩部分：

一是靜止在容器中的沙子由于重力作用而對容器產生壓力作用，其大小為

。

二是下落的沙子在與容器碰撞過程中對容器的作用力。設在很短時間內與容器相碰的沙子的質量為，由動量定理，對下落相碰的沙子有

。

將代入得

。

由于很小，故有。

所以盤秤的讀數為

。

（3）從沙子全部離開上容器直到全部到達下容器底部為止的一段時間里，，盤秤的讀數為

。

（4）沙子全部下落到下容器后，盤秤的讀數為

。

綜合上述4個過程的分析，盤秤讀數與時間的關系圖線如下圖所示。

圖中，，。