Question

【題目】選修4-1：集合證明選講
如圖，在正方形ABCD ， E,G分別在邊DA,DC上（不與端點重合），且DE=DG ， 過D點作DF⊥CE ， 垂足為F.

（1）證明：B,C,E,F四點共圓；
（2）若AB=1，E為DA的中點，求四邊形BCGF的面積.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵DF⊥CE，

∴Rt△DFC∽Rt△EDC，

∴，

∵DE=DG，CD=BC，

∴

又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF，

∴△GDF∽△BCF，

∴∠CFB=∠DFG，

∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，

∴∠GFB+∠GCB=180°，

∴B，C，G，F四點共圓．

（2）

∵E為AD中點， ，

∴ ，

∴在 中， ，

連接 ， ，

∴

【解析】（1）證明B，C，G，F四點共圓可證明四邊形BCGF對角互補，由已知條件可知∠BCD=90°，因此問題可轉化為證明∠GFB=90°；（2）在Rt△DFC中，GF= CD=GC，因此可得△GFB≌△GCB，則S四邊形BCGF=2S△BCG ， 據此解答