Question

【題目】半徑為，質量為的三個相同的剛性球放在光滑的水平桌面上，兩兩互相接觸。用一個高為的圓柱形剛性圓筒（上下均無底）將此三球套在筒內，圓筒內徑取適當值，使得各球間以及球與筒壁之間均保持接觸，且無相互作用力。現取一質量為，半徑為的第四球，放在三球上方正中。設四個球的表面、圓筒內壁表面均由相同物質構成，其相互之間的最大靜摩擦系數均為。問：取何值時，用手輕輕豎直向上提起圓筒即可將四球一起提起來？

Answer 1

【答案】

【解析】

當上面的小球放上去以后,系統的俯視、側視及受力示意圖如圖所示,

圖中均為上面小球對下面球的作用力,當豎直向上提起圓筒時,對臨界情況,先討論是處先滑動還是處先滑動。

由對下球球心取力矩,有

對與力線交點取力矩,并考慮到下面球的重力,易得

。

考慮到各處的摩擦系數相等,故處摩擦力先達到最大值,處先滑動。

此時。

對四個球,有.

對,有

.

將相關條件代入后,整理得

,

解得。

(整理中取,其值為平衡時的最大值)

設,則，

所以，,

所以,,故。

又由于上球不能太小,否則會從中間掉下,必須

，故，

所以,，

即.

本題是球的堆放問題,由于下面三個球的情況一樣,具有對稱性,于是我們只需要討論上面的球與下面某一個球的受力情況即可,這種對稱性的應用在各類問題的研究中都比較常見。

如同本題的示意圖,將空間問題降維至平面問題是我們處理此類問題必備的基本功這類試題能很好地考查答題者的空間思維能力。

本題另一個值得注意的點是,有同學得到的上限后,便認為大功告成殊不知,還存在一個小球下漏的問題,遺憾地漏掉了下限,這自然體現了答題者在思維全面性方面的缺陷,也是許多競賽生在測試時常會做卻做不對,或做對但做不全的原因。