Question

【題目】【2016山東青島卷】歸納式探究﹣﹣探究小球沿過山車軌道的運動

小雨觀察到游樂場的過山車可以底朝上在圓形軌道上運動，游客卻不會掉下來．他想探索其中的奧秘，做了以下兩個探究：

（1）探究一：如圖甲所示，小球由A點沿光滑軌道自由運動到B點，小球到達B點的速度v與高度h和小球質量m的關系，數據如表一．

表一：

實驗次數	h/m	m/kg	v2/（m2s﹣2）
1	0．2	2．0×10﹣2	4．0
2	0．4	2．0×10﹣2	8．0
3	0．4	3．0×10﹣2	8．0
4	0．8	2．5×10﹣2	16．0

則小球到達B點的速度v與 有關，且v2=k1 ．

探究二：如圖乙所示，小球以一定速度從B點沿光滑的豎直圓形軌道運動，恰好通過最高點C．小球在B點的速度v與軌道半徑r的關系，數據如表二．

實驗次數	r/m	v2/（m2s﹣2）
1	0．15	7．5
2	0．30	15．0
3	0．45	22．5

則小球在B點的速度v與軌道半徑r的關系式為 ．

（3）如圖丙所示，將甲、乙兩軌道組合后，小球從A點沿光滑軌道自由運動，若r=0．4m，要使小球經過B點后能恰好通過C點，則h= ．

Answer 1

【答案】（1）高度h；h；（2）v2=50m/s2×r；（3）1m．

【解析】（1）表格一：由1、2次實驗數據可知，質量相同時，下滑的高度越高到達B點速度的平方越大，且小球下落高度的倍數和到達B點速度平方的倍數相等，即小球到達B點的速度v的平方與高度h成正比；

由2、3次實驗數據可知，小球下滑的高度相同時，質量不同的小球到達B點速度的平方相等，則小球到達B點的速度與小球的質量無關，綜上可知，小球到達B點的速度v與高度h有關，且v2=k1h；（2）表格二：

由三次實驗數據可知，軌道半徑的變化數據和v2的變化倍數相等，則小球在B點的速度v2與軌道半徑r成正比，設為v2=kr，把v2=7．5m2/s2、r=0．15m代入可得，k=50m/s2，小球在B點的速度v與軌道半徑r的關系式為v2=50m/s2×r；（3）由表格一數據可知，當v2=4．0m2/s2時h=0．2m，則k1=v2/h=20m/s2，小球從A點沿光滑軌道自由運動，恰好通過C點時，由v2=50m/s2×r可得，B點的速度平方：vB2=50m/s2×r=50m/s2×0．4m=20m2/s2，由v2=k1h可得，小球下落的高度：hB=vB2/k1=1m。