Question

【題目】如圖，在中， ，點在上，以為半徑的⊙交于點， 的垂直平分線交于點，交于點，連接．

（1）判斷直線與⊙的位置關系，并說明理由；

（2）若， ， ，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）直線DE與⊙O相切，理由見解析；

（2）DE的長為.

【解析】（1）直線DE與⊙O相切，理由如下：連接OD，由OD=OA，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到∠ODE為直角，即可得證；

（2）連接OE，設DE=x，則EB=ED=x，CE=8-x，在Rt△OCE中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程得到x的值，即可確定出DE的長．

解：（1）直線DE與⊙O相切，理由如下：

連接OD，

∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，

∵EF是BD的垂直平分線，

∴EB=ED， ∴∠B=∠EDB，

∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，

∴∠ODA+∠EDB=90°，

∴∠ODE=180°﹣90°=90°，

∴直線DE與⊙O相切；

（2）連接OE，

設DE=x，則EB=ED=x，CE=8﹣x，

∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，

∴42+（8﹣x）2=22+x2，

解得： ， 則DE=．

“點睛”本題考查了直線與圓的位置關系，以及線段垂直平分線定理，熟練掌握直線與圓相切的性質是解題的關鍵．