Question

已知：點P為∠EAF平分線上一點，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，點M、N分別是射線AE、AF上的點，且PM=PN．
（1）當點M在線段AB上，點N在線段AC的延長線上時（如圖1），求證：BM=CN；
（2）在（1）的條件下，AM+AN=______AC；
（3）當點M在線段AB的延長線上時（如圖2），若AC：PC=2：1，PC=4，求四邊形ANPM的面積．

Answer 1

（1）∵點P為∠EAF平分線上一點，PB⊥AE，PC⊥AF，
∴PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°，
在Rt△PBM和Rt△PCN中，

PM=PN PB=PC

，
∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），
∴BM=CN；

（2）∵∠APB=90°-∠PAB，∠APC=90°-∠PAC，
∴∠APC=∠APB，
∵PB⊥AE，PC⊥AF，
∴PB=PC，
∴AM+AN=AM+CN+AC=AM+BM+AC=AB+AC=2AC；
故答案為：2；

（3）∵AC：PC=2：1，PC=4，
∴AC=8，
∴AB=AC=8，PB=PC=4，
∴S_{四邊形ANPM}=S_△APN+S_△APB+S_△PBM=S_△APN+S_△APB+S_△PCN=S_△APC+S_△APB=

1

2

AC•PC+

1

2

AB•PB=

1

2

×8×4+

1

2

×8×4=32．