Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC于點F，連接DF，分析下列五個結論：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S四邊形CDEF=S△ABF，其中正確的結論有________個。

Answer 1

【答案】4

【解析】試題解析：過D作DM∥BE交AC于N，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，

∵BE⊥AC于點F，

∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，

∴△AEF∽△CAB，故①正確；

∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，

∴，

∵AE=AD=BC，

∴，

∴CF=2AF，故②正確，

∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四邊形BMDE是平行四邊形，

∴BM=DE=BC，

∴BM=CM，

∴CN=NF，

∵BE⊥AC于點F，DM∥BE，

∴DN⊥CF，

∴DF=DC，故③正確；

∵tan∠CAD=，

而CD與AD的大小不知道，

∴tan∠CAD的值無法判斷，故④錯誤；

∵△AEF∽△CBF，

∴，

∴S△AEF=S△ABF，S△ABF=S矩形ABCD

∴S△AEF=S矩形ABCD，

又∵S四邊形CDEF=S△ACD-S△AEF=S矩形ABCD-S矩形ABCD=S矩形ABCD，

∴S四邊形CDEF=S△ABF，故⑤正確；

故有4個正確