Question

【題目】如圖，在△ABC中，點D、E分別是邊BC、AC的中點，過點A作AF∥BC交DE的延長線于點F，連接CF。

（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；

（2）若∠CAF=45°，BC=4，CF=，求AB的長。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）AB的長為

【解析】分析：（1）求出DE∥AB，AF∥BC來證明四邊形ABDF是平行四邊形．

（2）過點F作FG⊥AC于G點，求出AC和GF的長再求△CAF的面積．

本題解析：

證明：（1）在△ABC中，點D、E分別是邊BC、AC的中點，

∴DE∥AB， 又知AF∥BC，∴四邊形ABDF是平行四邊形。

（2）過點F作FG交AC于點G，過點A作AH交BC于點H。

∵FG⊥AC，∴∠AGF=90°，∵∠CAF=45°，由（1）知，四邊形ABDF是平行四邊形，

∴AF=BD=BC=2，在RT△AFG中，∠CAF=45°，∴AG=GF=AF=。在RT△CFG中，CF=，

∴CG=，∵AF∥BC，∴∠ACB=45°，

∵AH⊥BC，在RT△ACH中，AC=AG+GC=+2=3，∴AH=HC=×3=3，

∴BH=BC-CH=4-3=1。在RT△ABH中，AB=.