Question

已知：關于x的一元二次方程x²-（1+2k）x+k²-2=0有兩個實數根．
（1）求k的取值范圍；
（2）當k為負整數時，拋物線y=x²-（1+2k）x+k²-2與x軸的交點是整數點，求拋物線的解析式；
（3）若（2）中的拋物線與y軸交于點A，過A作x軸的平行線與拋物線交于點B，連接OB，將拋物線向上平移n個單位，使平移后得到的拋物線的頂點落在△OAB的內部（不包括△OAB的邊界），求n的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意得，（1+2k）²-4（k²-2）≥0，
解得，
K的取值范圍是．

（2）k為負整數，k=-2，-1．
當k=-2時，y=x²+3x+2與x軸的兩個交點是（-1，0）（-2，0）是整數點，符合題意，
當k=-1時，y=x²+x-1與x軸的交點不是整數點，不符合題意，
拋物線的解析式是y=x²+3x+2．

（3）由題意得，A（0，2），B（-3，2）
設OB的解析式為y=mx+2，解得
OB的解析式為，y=x²+3x+2的頂點坐標是（，）
OB與拋物線對稱軸的交點坐標（，1），
直線AB與拋物線對稱軸的交點坐標是（，2），
由圖象可知，n的取值范圍是，
分析：（1）根據一元二次方程有兩個實數根，求出根的判別式，即可求出k的取值范圍；
（2）根據（1）中求出的k的取值范圍，分別討論k=-2，k=-1時的情況，求出拋物線的解析式；
（3）由題意得，A（0，2），B（-3，2），設OB的解析式為y=mx+2，
點評：本題主要考查二次函數的綜合題的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握二次函數的性質和函數圖象平移的知識，此題數形結合比較方便．