Question

【題目】已知：如圖， 是內(nèi)一點(diǎn)， ， ， ， 分別是垂足，且．

（）求證：點(diǎn)在的平分線上．

（）若點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，且， ．

①當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)到射線的距離；

②連接， ， ，當(dāng)的周長(zhǎng)最小時(shí)，求的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（）證明見解析；（）①或或；② ．

【解析】試題分析：（1）證明≌，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可得；

（2）①分或或三種情況進(jìn)行討論即可得；

②當(dāng)為等邊三角形時(shí)， 周長(zhǎng)最小，則．作點(diǎn)關(guān)于射線的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，關(guān)于射線的一應(yīng)點(diǎn)，連結(jié) ，則線段 與的交點(diǎn)為．與的交點(diǎn)為，連結(jié)， ， ，由兩點(diǎn)之間線段最短，可知周小.

試題解析：（1）在和中，有，

∴≌，

∴，

∴在的平分線上；

（2）①若是等腰三角形，則或或．

（Ⅰ）若，

∵，

∴，

∴．

又， ，

∴，

∴，

∴， ， 三點(diǎn)共線．

∴到的距離為；

（Ⅱ）若，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)．

∵，則，

∴．

∴．

又，設(shè)，

則，

即．

在中， ，

∴．

在中， ，

∴；

（Ⅲ）若，同理可知．

綜上，點(diǎn)到射線的距離為或或；

②當(dāng)為等邊三角形時(shí)， 周長(zhǎng)最小，則．

作點(diǎn)關(guān)于射線的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，關(guān)于射線的一應(yīng)點(diǎn)，連結(jié) ，則線段 與的交點(diǎn)為．與的交點(diǎn)為，連結(jié)， ， ，由兩點(diǎn)之間線段最短，可知周小．

如圖所示：由軸對(duì)稱性質(zhì)可得，

OP1=OP2=OP，∠P1OA=∠POA，∠P2OB=∠POB，

所以∠P1OP2=2∠AOB=2×60°=120°，

所以∠OP1P2=∠OP2P1=（180°-120°）÷2=30°，

又因?yàn)椤?/span>FPO=∠OP1F=30°，∠GPO=∠OP2G=30°，

所以∠FPG=∠FPO+∠GPO=60°．