Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，頂點為M的拋物線經過點A和x軸正半軸上的點B，AO=OB=2，∠AOB=120⁰．

（1）求這條拋物線的表達式；
（2）連接OM，求∠AOM的大小；
（3）如果點C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，求點C的坐標．

Answer 1

解：（1）如圖，過點A作AD⊥y軸于點D，

∵AO=OB=2，∴B（2，0）。
∵∠AOB=120⁰，∴∠AOD=30⁰，∴AD=1，OD=。
∴A（－1，）。
將A（－1，），B（2，0）代入，得：
，解得。
∴這條拋物線的表達式為。
（2）過點M作ME⊥x軸于點E，

∵。
∴M（1，），即OE=1，EM=。
∴。∴。
∴。
（3）過點A作AH⊥x軸于點H ，

∵AH=，HB=HO＋OB=3，
∴。
∴，∴。
∴。
∴要△ABC與△AOM相似，則必須：
①，或②。
設點C的坐標為（c，0），則根據坐標和勾股定理，有
AO=2，，，。
①由得，，解得。∴C₁（4，0）。
②由得，，解得。∴C₂（8，0）。
綜上所述，如果點C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，則點C的坐標為（4，0）或（8，0）。

試題分析：（1）應用三角函數求出點A的坐標，將A，B的坐標代入，即可求得a、b，從而求得拋物線的表達式。
（2）應用二次函數的性質，求出點M的坐標，從而求得，進而求得∠AOM的大小。
（3）由于可得，根據相似三角形的判定，分，兩種情況討論。