Question

【題目】如圖，將邊長為4的正方形OABC置于平面直角坐標系中，點P在邊OA上從O向A運動，連接CP交對角線OB于點Q，連接AQ．
（1）求證：△OCQ≌△OAQ；
（2）當點Q的坐標為（ ， ）時，求點P的坐標；
（3）若點P在邊OA上從點O運動到點A后，再繼續在邊AB上從A運動到點B，在整個過運動過程中，若△OCQ恰為等腰三角形，請直接寫出所有滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形OCBA是正方形，

∴OC=OA，∠COD=∠AOD=45°，

在△OCD和△OAD中 ，

∴△OCD≌△OAD（SAS），

（2）解：∵點Q的坐標為（ ， ），

∴OQ= ，

在正方形OABC中，BC∥OA，OC=BC=4，

∴OB=4 ，

∴BQ=OB﹣OQ= ，

∵BC∥OA，

∴△OQP∽△BQC，

∴ ，

∴ ，

∴OP=2，

∴P（2，0）；

（3）解：解：分為三種情況：

①OC=OD時，如圖1，

∴OD=4，

∵OB=4 ，

∴BD=OB﹣OD=4 ﹣4，

∵∠BOC=45°，

∴∠OCP=67.5°，

∴點P在AB上，

∵OC∥AB，

∴△ODC∽△BDP，

∴ ，

∴ ，

∴BP=4 ﹣4，

∴AP=AB﹣BP=4﹣（4 ﹣4）=8﹣4 ，

∴P點的坐標是（4，8﹣4 ）；

②CD=OD時，如圖2，

∵∠BOC=45°，

∴點D是OB的中點，

∴點P與點A重合，

∴P點的坐標是（4，0）；

③OC=CD時，

∴∠CDO=∠COD=45°．

∴∠OCD=90°，

∴點P和點B重合，

∴P點的坐標是（4，4）．

即滿足條件的點P的坐標為（4，8﹣4 ）或（4，0）或（4，4）．

【解析】（1）根據正方形性質推出OC=OA，∠COD=∠AOD=45°，根據SAS證明三角形全等即可；（2）先求出OB，OQ，進而判斷出△OQP∽△BQC，即可得出結論．（3）分為三種情況：①OC=OD時，②CD=OD時，③OC=CD時，根據等腰三角形性質和相似求出即可．
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質的相關知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）才能正確解答此題．