Question

【題目】問題情景：如圖1，AB∥CD，∠PAB=140°，∠PCD=135°，求∠APC的度數．

（1）麗麗同學看過圖形后立即口答出：∠APC=85°，請你補全她的推理依據．

如圖2，過點P作PE∥AB，

∵AB∥CD，∴PE∥CD． （　 　）

∴∠A+∠APE=180°．

∠C+∠CPE=180°． （　 　）

∵∠PAB=140°，∠PCD=135°，

∴∠APE=40°，∠CPE=45°

∴∠APC=∠APE+∠CPE=85°．（　 　）

問題遷移：

（2）如圖3，AD∥BC，當點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，求∠CPD與∠α、∠β之間有何數量關系？請說明理由．

（3）在（2）的條件下，如果點P在A、B兩點外側運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請你直接寫出∠CPD與∠α、∠β之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行，同旁內角互補；等量代換；（2）∠CPD=∠α+∠β，理由見解析；（3）當P在BA延長線時，∠CPD=∠β﹣∠α；當P在AB延長線時，∠CPD=∠α﹣∠β．

【解析】(1) 過點P作PE∥AB，根據“兩直線平行，同旁內角互補”可得∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°；進一步可求得結果.（2）過P作PE∥AD交CD于E，則AD∥PE∥BC，根據“兩直線平行，內錯角相等”可得∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，因此，∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（3）類似（2）的方法，分兩種情況，即：P在BA延長線時或在AB延長線時.可得出結論..

解：（1）過點P作PE∥AB，

如圖2所示：

∵AB∥CD，

∴PE∥CD．（平行于同一條直線的兩條直線平行）

∴∠A+∠APE=180°．

∠C+∠CPE=180°．（兩直線平行同旁內角互補）

∵∠PAB=140°，∠PCD=135°，

∴∠APE=40°，∠CPE=45°,

∴∠APC=∠APE+∠CPE=85°．（等量代換）

故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行，同旁內角互補；等量代換；

（2）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：

如圖3所示，過P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；

（3）當P在BA延長線時，如圖4所示：

過P作PE∥AD交CD于E，

同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠β﹣∠α；

當P在AB延長線時，如圖5所示：

同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠α﹣∠β．