Question

【題目】如圖，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CF，垂足為F．
（1）若AC=10，求四邊形ABCD的面積；
（2）求證：AC平分∠ECF；
（3）求證：CE=2AF．

Answer 1

【答案】（1）解：∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD
∴∠BAC=∠EAD，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∵S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD ，
∴；
（2）證明：∵△ACE是等腰直角三角形，
∴∠ACE=∠AEC=45°，
由△ABC≌△ADE得：
∠ACB=∠AEC=45°，
∴∠ACB=∠ACE，
∴AC平分∠ECF；
（3）證明：過點A作AG⊥CG，垂足為點G，

∵AC平分∠ECF，AF⊥CB，
∴AF=AG，
又∵AC=AE，
∴∠CAG=∠EAG=45°，
∴∠CAG=∠EAG=∠ACE=∠AEC=45°，
∴CG=AG=GE，
∴CE=2AG，
∴CE=2AF．
【解析】（1）求出∠BAC=∠EAD，根據(jù)SAS推出△ABC≌△ADE，推出四邊形ABCD的面積=三角形ACE的面積，即可得出答案；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質得出∠ACE=∠AEC=45°，△ABC≌△ADE求出∠ACB=∠AEC=45°，推出∠ACB=∠ACE即可；
（3）過點A作AG⊥CG，垂足為點G，求出AF=AG，求出CG=AG=GE，即可得出答案．