Question

已知：四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD,∠BAD=120°,點E是射線CD上的一個動點（與C、D不重合）,將△ADE繞點A順時針旋轉120°后,得到△ABE',連接EE'.
（1）如圖1,∠AEE'=       °;

（2）如圖2,如果將直線AE繞點A順時針旋轉30°后交直線BC于點F,過點E作EM∥AD交直線AF于點M,寫出線段DE、BF、ME之間的數量關系;

（3）如圖3,在（2）的條件下,如果CE=2,AE=,求ME的長.

Answer 1

(1)∠AEE'=30°;
(2)當點E在線段CD上時,;
當點E在CD的延長線上時,
時,;
時,; 
時,;
(3) ．

試題分析：（1）根據旋轉性質及三角形內角和定理即可;
（2）根據題意得到AN=E'N,EN=NE',再ME∥BC,得到,從而得到線段DE、BF、ME之間的數量關系;
（3）通過作輔助線,求出,再由（2）的結論得到ME的長．
試題解析：(1)根據題意知：AE=AE' ,∠E'AE=120°,所以∠AEE'=30°;
(2)當點E在線段CD上時,設AF與EE'相交于N,
∵∠E'AE=120°,∠EAF=30°,
∴∠E'AN=90°,∠AE'N=30°,
∴AN=E'N,
∵∠NAE=∠NEA=30°,
∴AN=EN,即EN=NE',
∵ME∥BC
∴△MNE∽△FNE'
∴,而E'B=DE,
∴;
同理：當點E在CD的延長線上,
時,;
時,; 
時,;
(3)作于點G, 作于點H.

由AD∥BC,AD=AB=CD,∠BAD=120°,得∠ABC=∠DCB=60°,
易知四邊形AGHD是矩形和兩個全等的直角三角形.
則GH="AD" , BG=CH.
∵,
∴點、B、C在一條直線上.
設AD=AB=CD=x,則GH=x,BG=CH=,.
作于Q.
在Rt△EQC中,CE="2," ,
∴, .
∴E'Q=.
作于點P.
∵△ADE繞點A順時針旋轉120°后,得到△ABE'.
∴△AEE'是等腰三角形,.
∴在Rt△APE'中,E'P=.
∴EE'=2E'P=.  
∴在Rt△EQ E'中,E'Q=.
∴.
∴.
∴,.
∴
在Rt△E'AF中,,
∴Rt△AG E'∽Rt△FA E'.
∴
∴.
∴.
由（2）知：
∴．