Question

【題目】閱讀下面材料：

小偉遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC（其中∠BAC是一個可以變化的角）中，AB=2，AC=4，以BC為邊在BC的下方作等邊△PBC，求AP的最大值．

小偉是這樣思考的：利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合．他的方法是以點B為旋轉中心將△ABP逆時針旋轉60°得到△A′BC，連接A′A，當點A落在A′C上時，此題可解（如圖2）．

請你回答：AP的最大值是　 　．

參考小偉同學思考問題的方法，解決下列問題：

如圖3，等腰Rt△ABC．邊AB=4，P為△ABC內部一點，則AP+BP+CP的最小值是　 　．（結果可以不化簡）

Answer 1

【答案】（1）6；（2）2+2.

【解析】

（1）由旋轉得到△A′BC，有△A′BA是等邊三角形，當點A′A、C三點共線時，A′C=AA′+AC，最大即可；

（2）由旋轉得到結論PA+PB+PC=P1A1+P1B+PC，只有，A1、P1、P、C四點共線時，（P1A+P1B+PC）最短，即線段A1C最短，根據勾股定理，即可．

（1）如圖2，

∵△ABP逆時針旋轉60°得到△A′BC，

∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C

∴△A′BA是等邊三角形，

∴A′A=AB=BA′=2，

在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，

則當點A′A、C三點共線時，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；

故答案是：6．

（2）如圖3，

∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．

以B為中心，將△APB逆時針旋轉60°得到△A'P'B．則A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，

∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．

∵當A'、P'、P、C四點共線時，（P'A+P'B+PC）最短，即線段A'C最短，

∴A'C=PA+PB+PC，

∴A'C長度即為所求．

過A'作A'D⊥CB延長線于D．

∵∠A'BA=60°（由旋轉可知），

∴∠1=30°．

∵A'B=4，

∴A1D=2，BD=2

∴CD=4+2；

在Rt△A1DC中，A1C=．

∴AP+BP+CP的最小值是：（或不化簡為）．