Question

【題目】如圖，拋物線的圖象過點C（0，1），頂點為Q（2，3）,點D在x軸正半軸上，線段OD=OC.

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線上是否存在點M，使得⊿CDM是以CD為直角邊的直角三角形？若存在，請求出M點的坐標；若不存在，請說明理由.

（3）將直線CD繞點C逆時針方向旋轉45°所得直線與拋物線相交于另一點E，,連接QE.若點P是線段QE上的動點，點F是線段OD上的動點，問：在P點和F點的移動過程中，△PCF的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值，若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1） (2)符合題意的Ｍ有三點，分別是(2 , 3 )，(， )，(　， ) (3)存在，在P點和F點移動過程中，△PCF的周長存在最小值，最小值為2．

【解析】（1）設拋物線的解析式為y=a(x-2)2+3. 將C（0，1）代入求得a的值即可；

（2）①C為直角頂點時，作CM⊥CD，CM交拋物線與點M，先求得直線CD的解析式，然后再求得直線CM的解析式，然后求得CM與拋物線的交點坐標即可；②D為直角頂點坐標時，作DM⊥CD，先求得直線CM的解析式，然后將直線CM與拋物線的交點坐標求出即可；

（3）存在. 作點C關于直線QE的對稱點C/，作點C關于x軸的對稱點C//，連接C/C//，交QE于點P，則△PCE即為符合題意的周長最小的三角形，由對稱軸的性質可知，△PCE的周長等于線段C/C//的長度，然后過點C/作C/N⊥y軸，然后依據勾股定理求得C/C//的長即可.

解：（1）設拋物線的解析式為

將C（0，1）代入得：

解得:

∴

(2)①C為直角頂點時

如圖①:CM⊥CD

設直線CD為,

∵OD=OC

∴OD=1

∴D(1,0)

把D(1,0)代入得:

∴

∵CM⊥CD,

∴易得直線CM為: 　

則: 　　　　

解之得:M(2 , 3 ),恰好與Q點重合.分

②D為直角頂點時:

如圖②,易得：直線ＤＭ為

則：

則Ｍ為(， )或 (　， )　

綜上所述，符合題意的Ｍ有三點，分別是(2 , 3 )，(， )，(　， )．

(3) 在．

如圖③所示，作點C關于直線QE的對稱點C′，作點C關于x軸的對稱點C″，連接C′C″，交OD于點F，交QE于點P，則△PCF即為符合題意的周長最小的三角形，由軸對稱的性質可知，△PCF的周長等于線段C′C″的長度．

（證明如下：不妨在線段OD上取異于點F的任一點F′，在線段QE上取異于點P的任一點P′，連接F′C″，F′P′，P′C′．

由軸對稱的性質可知，△P′CF′的周長=F′C″+F′P′+P′C′；

而F′C″+F′P′+P′C′是點C′，C″之間的折線段，

由兩點之間線段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，

即△P′CF′的周長大于△PCE的周長．）

如答圖④所示，連接C′E，

∵C，C′關于直線QE對稱，△QCE為等腰直角三角形，

∴△QC′E為等腰直角三角形，

∴△CEC′為等腰直角三角形，

∴點C′的坐標為（4，5）；

∵C，C″關于x軸對稱，∴點C″的坐標為（0，﹣1）．

過點C′作C′N⊥y軸于點N，則NC′=4，NC″=4+1+1=6，

在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″==2．

綜上所述，在P點和F點移動過程中，△PCF的周長存在最小值，最小值為2．

“點睛”本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求函數的解析式，掌握相互垂直的兩條直線的一次項系數乘積為-1是解答問題（2）的關鍵，利用軸對稱的性質將三角形的周長轉化為線段C/C//的長是解答問題（3）的關鍵.