Question

【題目】如圖，在中， ,, 是由 繞點按順時針方向旋轉得到的，連接、相交于點.

(1)求證: ;

(2)當四邊形為菱形時，求的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）先由旋轉的性質得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，則∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，于是根據旋轉的定義，△AEB可由△AFC繞點A按順時針方向旋轉得到，然后根據旋轉的性質得到BE=CD；

（2）由菱形的性質得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根據等腰三角形的性質得∠AEB=∠ABE，根據平行線得性質得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判斷△ABE為等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE-DE求解．

試題解析：（1）證明：∵△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉得到的，

∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，

∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，

∵AB=AC，

∴AE=AF，

∴△AEB可由△AFC繞點A按順時針方向旋轉得到，

∴BE=CF；

（2）解：∵四邊形ACDE為菱形，AB=AC=1，

∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，

∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，

∴∠AEB=∠ABE=45°，

∴△ABE為等腰直角三角形，

∴BE=AC=，

∴BD=BE-DE=-1．