Question

【題目】已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標系中，點A（4，0），點B（0，3），點P為BC邊上的動點（點P不與點B、C重合），經過點O、P折疊該紙片，得點B′和折痕OP．設BP＝t．

（1）如圖1，當∠BOP＝30°時，求點P的坐標；

（2）如圖2，經過點P再次折疊紙片，使點C落在直線PB′上，得點C′和折痕PQ，設AQ＝m，試用含有t的式子表示m；

（3）在（2）的條件下，連接OQ，當OQ取得最小值時，求點Q的坐標；

（4）在（2）的條件下，點C′能否落在邊OA上？如果能，直接寫出點P的坐標；如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）點C′不能落在邊OA上．

【解析】

（1）在Rt△OBP中，∠BOP＝30°，求PB，即求P點坐標；

（2）證明OBP∽△PCQ，得到即可求解；

（3）OQ2＝OA2+AQ2＝42+AQ2＝16+AQ2，當AQ最短時，OQ最短；

（4）假設點C′能落在邊OA上，在Rt△OB′C′中，B′O2+B′C′2＝OC′2，32+（4﹣2t）2＝（4﹣t）2，△＝（﹣8）2﹣4×3×9＜0，該方程無實數解，點C′不能落在邊OA上．

解：（1）∵A（4，0），B（0，3），

∴OA＝4，OB＝3，

在Rt△OBP中，

∵∠BOP＝30°，

∴PB＝，

∴點P的坐標為（，3），

（2）由題意，得BP＝t，PC＝4﹣t，CQ＝3﹣m，

由折疊可知：∠OPB＝∠OPB′，∠CPQ＝∠C′PQ，

又∵∠OPB+∠OPB′+∠CPQ+∠C′PQ＝180°，

∴∠OPB+∠CPQ＝90°，

又∵∠OPB+∠BOP＝90°，

∴∠OPB＝∠CPQ，

又∵∠OBP＝∠C＝90°，

∴△OBP∽△PCQ，

∴，

，

∴m＝t2﹣t+3；

（3）∵OQ2＝OA2+AQ2＝42+AQ2＝16+AQ2，

∴當AQ最短時，OQ最短，

∵AQ＝m＝t2﹣t+3＝（t﹣2）2+，

∴當t＝2時，AQ最短，OQ最短，

此時點Q（4，），

（4）點C′不能落在邊OA上，

理由：假設點C′能落在邊OA上，由折疊可得

PB＝PB′＝t，PC＝PC′＝4﹣t，OB＝OB′＝3，∠OPB＝∠OPC′，∠OB′P＝∠OBP＝90°，

∵BC∥OA，

∴∠BPO＝∠POC′，

∴∠OPC′＝∠POC′，

∴OC′＝PC′＝4﹣t，

∴B′C′＝PC﹣PB′＝（4﹣t）﹣t＝4﹣2t，

在Rt△OB′C′中，∵B′O2+B′C′2＝OC′2，

∴32+（4﹣2t）2＝（4﹣t）2，

整理，得3t2﹣8t+9＝0，

∵△＝（﹣8）2﹣4×3×9＜0，

∴該方程無實數解，

∴點C′不能落在邊OA上．