Question

（2013•順義區二模）問題：如果存在一組平行線a∥b∥c，請你猜想是否可以作等邊三角形ABC使其三個頂點分別在a、b、c上？
小明同學的解答如下：如圖1所示，過點A作AM⊥b于M，作∠MAN=60°，且AN=AM，過點N作CN⊥AN交直線c于點C，在直線b上取點B使BM=CN，則△ABC為所求．

（1）請你參考小明的作法，在圖2中作一個等腰直角三角形DEF使其三個頂點分別在a、b、c上，點D為直角頂點；
（2）若直線a、b之間的距離為1，b、c之間的距離為2，則在圖2中，S_△DEF=

5

，在圖1中AC=

2

3

21

．

Answer 1

分析：（1）在a上取一點D，作DH⊥b于H，在a上取點M使DM=DH，作MF⊥DM于M交c于點F，在b上取一點E使HE=MF，連接DE，DF，EF，則△DEF是所求作的三角形；
（2）由作圖可以由勾股定理得出DF的值，在圖1中，過點N作HG⊥a于H，交c于點G，由勾股定理先求出CN的值就可以求出AC的值．

解答：解：（1）如圖2，①在a上取一點D，作DH⊥b于H，
②在a上取點M使DM=DH，
③作MF⊥DM于M交c于點F，
④在b上取一點E使HE=MF，
⑤連接DE，DF，EF，
∴△DEF是所求作的三角形．

（2）∵a、b之間的距離為1，b、c之間的距離為2，
∴DM=DH=1，MF=1+2=3．
在Rt△FDM中，由勾股定理，得
DF=

1+9

=

10

．
∴S_△DEF=

1

2

×（

10

）²=5．
如圖1，過點N作HG⊥a于H，交c于點G，
∴∠AHN=∠NGC=90°．
∵∠MAN=60°，
∴∠HAN=30°，
∴HN=

1

2

AN．∠ANH=60°．
∵AM=AN=1，
∴HN=0.5．
∴HG=2.5．
∵CN⊥AN，
∴∠ANC=90°，
∴∠ANH+∠CNG=90°，
∴∠CNG=30°，
∴CN=2CG，
在Rt△CGN中，由勾股定理，得
4CG²-CG²=

25

4

，
CG=

5

6

3

，
∴CN=

5

3

3

．
在Rt△ANC中，由勾股定理，得
AC²=（

5

3

3

）²+1，
∴AC=

2

3

21

．
故答案為：5，

2

3

21

．

點評：本題考查了作圖的運用，等腰直角三角形的性質的運用，勾股定理的運用，直角三角形的性質的運用，全等三角形的性質的運用，解答時合理運用全等三角形的性質是關鍵．