Question

【題目】如圖，拋物線頂點A的坐標為（1,4），拋物線與x軸相交于B、C兩點，與y軸交于點E（0,3）．

（1）求拋物線的表達式；

（2）已知點F（0，-3），在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得EP+FP最小，如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x+3；（2）存在，P(1,0)，理由見解析；

【解析】

（1）根據頂點式可求得拋物線的表達式；
（2）根據軸對稱的最短路徑問題，作E關于對稱軸的對稱點E'，連接E'F交對稱軸于P，此時EP+FP的值最小，先求E'F的解析式，它與對稱軸的交點就是所求的點P；

（1）設拋物線的表達式為：y=a(x1)2+4，

把(0,3)代入得：3=a(01)2+4，

解得：a=1，

∴拋物線的表達式為：y=(x1)2+4=x2+2x+3；

（2）存在，

作E關于對稱軸的對稱點E′，連接E′F交對稱軸于P，此時EP+FP的值最小，

∵E(0,3)，

∴E′(2,3)，

易得E′F的解析式為：y=3x3，

當x=1時，y=3×13=0，

∴P(1,0)．