Question

【題目】如圖1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2，AC、BD相交于點O．

（1）AB的長為　 　；

（2）如圖2，將一個足夠大的直角三角板60°角的頂點放在菱形ABCD的頂點A處，繞點A左右旋轉，其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點E，F，連接EF與AC相交于點G．

①求證：△ABE≌△ACF；

②判斷△AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）①見解析；②△AEF是等邊三角形，理由見解析

【解析】分析：（1）利用菱形對角線互相垂直且平分可得AO、OB，根據勾股定理求出即可；

（2）①由（1）知，菱形ABCD的邊長是2，AC=2，然后由△ABC和△ACD是等邊三角形，利用ASA可證得△ABE≌△ACF；

②由①可得AE=AF，根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形推出即可．

詳解：（1）∵在菱形ABCD中，AC=2，BD=2，

∴∠AOB=90°，OA=AC=1，BO=BD=，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==2；

故答案為：2；

（2）①∵由（1）知，菱形ABCD的邊長是2，AC=2，

∴△ABC和△ACD是等邊三角形，

∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，

∵∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，

∴∠BAE=∠CAF，

在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（ASA），

②△AEF是等邊三角形，

理由是：∵△ABE≌△ACF，

∴AE=AF，

∵∠EAF=60°，

∴△AEF是等邊三角形．