【題目】如圖,P是等邊三角形ABC內的一點,連接PA,PB,PC,以BP為邊作∠PBQ=60，且BQ=BP，連接CQ.
(1)觀察并猜想AP與CQ之間的大小關系，并證明你的結論；
(2)若PA=3，PB=4，PC=5，連接PQ，試判斷△PQC的形狀，并說明理由。
【答案】(1)猜想：AP=CQ，證明見解析；（2）△PQC是直角三角形，證明見解析.
【解析】試題分析：（1）根據條件用“SAS”可證明△ABP≌△CBQ，從而可得AP=CQ；（2）連接PQ．可證明△PBQ為等邊三角形，得PQ=PB=4，然后根據勾股定理的逆定理可證△PQC為直角三角形，且∠PQC=90°．
試題解析：解：（1）AP=CQ，理由如下：因為△ABC是等邊三角形，所以AB=BC，∠ABC=60°．因為∠PBQ=60°，所以∠ABP=∠CBQ=60°-∠PBC．在△ABP和△CBQ中，AB=CB，∠ABP=∠CBQ，BP=BQ，所以△ABP≌△CBQ，（SAS），所以AP=CQ；（2）連接PQ．因為BP=BQ，∠PBQ=60°，所以△PBQ是等邊三角形，所以PQ=PB=4．又因為CQ=PA=3，PC=5，且
，即
，所以△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°．
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【題目】(2016重慶市第22題)如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于第二、四象限內的A，B兩點，與x軸交于點C，與Y軸交于點D，點B的坐標為（m，-4），連接AO，AO=5，sin∠AOC=
。
（1）求反比例函數的解析式；
（2）連接OB，求△AOB的面積。
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【題目】把幾個數用大括號括起來，相鄰兩個數之間用逗號隔開，如： 
， 
，...,我們稱之為集合，其中每一個數稱為該集合的元素.如果一個所有元素均為有理數的集合滿足：當有理數
是集合的一個元素時，
也必是這個集合的元素，這樣的集合我們又稱為黃金集合.例如， 
就是一個黃金集合.
（1）集合
______黃金集合，集合
_______黃金集合；（填“是”或“不是”）
（2）若一個黃金集合中最大的一個元素為
，則該集合是否存在最小的元素？如果存在，請直接寫出答案，否則說明理由.
（3）若一個黃金集合中所有元素之和為整數
,且
，則該黃金集合中共有多少個元素？請說明你的理由.
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【題目】小蟲從某點O出發，在一條直線上來回爬行，假定向右爬行的路程記為正數，向左爬行的路程記為負數，爬過的各段路程（單位： 
）依次為：+5、–3、+10、–8、–6、+12、–10．
（1）小蟲是否回到原點O？請說明理由；
（2）小蟲離開出發點O最遠是多少厘米？
（3）在爬行過程中每爬行
cm獎勵兩粒芝麻，那么小蟲一共能得到多少粒芝麻？
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【題目】某鞋店先后賣出7雙某品牌的運動鞋，其尺碼依次為(單位:碼):40，39，40，41，42，41，41，則這組數據的眾數是( )
A. 39 B. 40 C. 41 D. 42
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【題目】某賓館有50個房間供游客居住，當每個房間定價120元時，房間會全部住滿，當每個房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑。如果游客居住房間，賓館需對每個房間每天支出20元的各種費用，設每個房間定價增加10 x元（x為整數）。
⑴（直接寫出每天游客居住的房間數量y與x的函數關系式。
⑵設賓館每天的利潤為W元，當每間房價定價為多少元時，賓館每天所獲利潤最大，最大利潤是多少？
⑶某日，賓館了解當天的住宿的情況，得到以下信息：①當日所獲利潤不低于5000元，②賓館為游客居住的房間共支出費用沒有超過600元，③每個房間剛好住滿2人。問：這天賓館入住的游客人數最少有多少人？
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