Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C 在⊙O 上，過點C 的直線與AB 的延長線交于點P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．

（1）求證：PC 是⊙O 的切線；
（2）求證： ；
（3）點M 是弧AB 的中點，CM 交AB 于點N，若AB=8，求MNMC 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO．

又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，

∴∠A=∠ACO=∠PCB．

又∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACO+∠OCB=90°．

∴∠PCB+∠OCB=90°．

即OC⊥CP，

∵OC是⊙O的半徑．

∴PC是⊙O的切線．

（2）

證明：∵AC=PC，

∴∠A=∠P，

∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．

又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，

∴∠COB=∠CBO，

∴BC=OC=OB．

∴BC= AB．

（3）

解：連接MA，MB，

∵點M是弧AB的中點，

∴弧AM=弧BM，

∴∠ACM=∠BCM．

∵∠ACM=∠ABM，

∴∠BCM=∠ABM．

∵∠BMN=∠BMC，

∴△MBN∽△MCB．

∴ ．

∴BM2=MNMC．

又∵AB是⊙O的直徑，弧AM=弧BM，

∴∠AMB=90°，AM=BM．

∵AB=8，∴BM=4 ．

∴MNMC=BM2=32．

【解析】（1）根據圓的半徑相等得到∠COB=2∠A又∠COB=2∠PCB，從而得到∠A=∠ACO=∠PCB．由直徑所對的圓周角為直角，等量代換得到∠OCP為直角；（2）等角對等邊；（3）連接MA，MB，由MNMC=BM2轉化為 ， 可得要證明△MBN∽△MCB．
【考點精析】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關系和圓周角定理的相關知識點，需要掌握在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等；在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半才能正確解答此題．