Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，點P為AD上一個動點，以PB 為對稱軸將△APB折疊得到△EPB，點A的對稱點為點E，射線BE交矩形ABCD的邊于點 F，若AB＝4，AD＝6，當點F為矩形ABCD邊的中點時，AP的長為_____．

Answer 1

【答案】或．

【解析】

分兩種情形：如圖1中，當點F是AD的中點時．如圖2中，當點F是CD的中點時，延長AD交BF的延長線于H．分別求解即可．

解：如圖1中，當點F是AD的中點時，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，AB＝6，AF＝3，

∴BF＝＝＝5，

由翻折可知：AB＝BE＝4，設PA＝PE＝x，則PF＝3﹣x，EF＝5﹣4＝1，

在Rt△PEF中，∵PE2+EF2＝PF2，

∴x2+12＝（3﹣x）2，

∴x＝，

∴PA＝

如圖2中，當點F是CD的中點時，延長AD交BF的延長線于H．

∵∠C＝90°，BC＝6，CF＝DF＝2，

∴BF＝＝2，

∵DH∥BC，

∴∠H＝∠FBC，

∵∠DFH＝∠BFC，DF＝FC，

∴△DHF≌△CBF（AAS），

∴DH＝BC＝6，FH＝BF＝2，

∵AB＝BE＝4，

∴EF＝2﹣4，EH＝2﹣4+2＝4﹣4，

設PA＝PE＝y，則PD＝6﹣y，PH＝6﹣y+6＝12﹣y，

在Rt△PEH中，∵PE2+EH2＝PH2，

∴y2+（4﹣4）2＝（12﹣y）2，

∴y＝，

∴PA＝，

綜上所述，PA的長為或．

故答案為：或．