Question

【題目】已知點O到△ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，且OB＝OC.

(1)如圖1，若點O在BC上，求證：AB＝AC.

(2)如圖2，若點O在△ABC內部，求證：AB＝AC.

(3)猜想，若點O在△ABC的外部，AB＝AC成立嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）不一定成立

【解析】

（1）首先過點O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，易證得Rt△BOD≌Rt△COE，即可得∠B=∠C，根據等角對等邊的性質，即可證得AB=AC；

（2）首先過點O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，易證得Rt△BOD≌Rt△COE，然后又由OB=OC，根據等邊對等角的性質，易證得∠ABC=∠ACB，根據等角對等邊的性質，AB=AC；

（3）首先過點O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC的延長線于點E，易證得Rt△BOD≌Rt△COE，然后又由OB=OC，根據等邊對等角的性質，易證得∠ABC=∠ACB，根據等角對等邊的性質，AB=AC．

詳證明：（1）過點O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，

則OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，

在Rt△BOD和Rt△COE中，

∵，

∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），

∴∠B=∠C，

∴AB=AC；

（2）過點O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，

則OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，

在Rt△BOD和Rt△COE中，

∵，

∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），

∴∠DBO=∠ECO，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

（3）不一定成立．

證明：如圖3，過點O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC的延長線于點E，

則OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，

在Rt△BOD和Rt△COE中，

∵，

∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），

∴∠DBO=∠ECO，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠DBC=∠ECB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC．

如圖4，可知AB≠AC．