Question

【題目】如圖，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC、內角∠ABC、外角∠ACF．以下結論：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°-∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤∠BDC=∠BAC．
其中正確的結論有（ ）

A. 5個 B. 4個

C. 3個 D. 2個

Answer 1

【答案】B

【解析】(1)∵AD平分△ABC的外角∠EAC

∴∠EAD=∠DAC，

∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，

∴∠EAD=∠ABC，

∴AD∥BC，

故①正確。

(2)由(1)可知AD∥BC

∴∠ADB=∠DBC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠ABC=2∠ADB，

∵∠ABC=∠ACB，

∴∠ACB=2∠ADB，

故②正確。

(3)在△ADC中,∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，

∵CD平分△ABC的外角∠ACF，

∴∠ACD=∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB

∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，

∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°

∴∠ADC+∠ABD=90°

∴∠ADC=90°-∠ABD，

故③正確，

(4)如果BD平分∠ADC，則四邊形ABCD是平行四邊形，

∵∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD，

∴四邊形ABCD是菱形，

∴只有在△ABC是正三角形時才有BD平分∠ADC

故④錯誤。

(5)∵∠BAC+∠ABC=∠ACF，

∴∠BAC+∠ABC=∠ACF，

∵∠BDC+∠DBC=∠ACF，

∴∠BAC+∠ABC=∠BDC+∠DBC，

∵∠DBC=∠ABC，

∴∠BAC=∠BDC，即∠BDC=∠BAC.

故⑤正確。

故答案為：①②③⑤。