Question

【題目】如圖1，正方形紙片ABCD的邊長為2，翻折∠B、∠D，使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P、EF、GH分別是折痕（如圖2）．設AE=x（0＜x＜2），給出下列判斷：
①當x=1時，點P是正方形ABCD的中心；
②當x= 時，EF+GH＞AC；
③當0＜x＜2時，六邊形AEFCHG面積的最大值是3；
④當0＜x＜2時，六邊形AEFCHG周長的值不變．
其中正確的選項是（ ）

A.①③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④

Answer 1

【答案】C
【解析】解：（1）正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P，
∴△BEF和△DGH是等腰直角三角形，
∴當AE=1時，重合點P是BD的中點，
∴點P是正方形ABCD的中心；
故①結論正確，
·（2）正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P，
∴△BEF∽△BAC，
∵x= ，
∴BE=2﹣ = ，
∴ ，即 ，
∴EF= AC，
同理，GH= AC，
∴EF+GH=AC，
故②結論錯誤，
·（3）六邊形AEFCHG面積=正方形ABCD的面積﹣△EBF的面積﹣△GDH的面積．
∵AE=x，
∴六邊形AEFCHG面積=22﹣ BEBF﹣ GDHD=4﹣ ×（2﹣x）（2﹣x）﹣ xx=﹣x2+2x+2=﹣（x﹣1）2+3，
∴六邊形AEFCHG面積的最大值是3，
故③結論正確，
·（4）當0＜x＜2時，
∵EF+GH=AC，
六邊形AEFCHG周長=AE+EF+FC+CH+HG+AG=（AE+CH）+（FC+AG）+（EF+GH）=2+2+2 =4+2 故六邊形AEFCHG周長的值不變，
故④結論正確．
故選C
【考點精析】利用翻折變換（折疊問題）對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等．