Question

【題目】如圖，在中，，以為直徑作圓，分別交于點，交的延長線于點，過點作于點，連接交線段于點.

（1）求證：是圓的切線；

（2）若為的中點，求的值；

（3）若，求圓的半徑.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2），（3）

【解析】

試題分析：（1）連接OD，然后可得等腰三角形，然后通過等腰三角形的性質求得OD∥AC，然后可根據切線的判定求證即可；

（2）根據等腰三角形的性質和三角形的中位線可證得△AEF∽△ODF，由相似三角形的性質可求解；

（3）根據等腰三角形的性質，和圓的有關性質，可證明△BFD∽△EFA，然后根據相似三角形的性質可求解.

試題解析：（1）

連接，

∵，

∴是等腰三角形，

①，

又在中， ∵，

∴ ②，

則由①②得，，

∴，

∵，

∴，

∴是的切線；

（2）

在中， ∵，

∵由中可知，，

是等腰三角形，

又∵且點是中點，

∴設，則，

連接，則在中，，即，

又∵是等腰三角形，∴是中點，

則在中，是中位線， ∴，

∵， ∴，

在和中，， ∴，

∴，

∴．

（3）設半徑為，即，

∵， ∴，

又∵， ∴，

則， ∴，

∴，

∴，

在中， ∵，

∴，

∵，是等腰三角形，

∴，

∴，

在與中，∵，

∴，

解得（舍）

∴綜上，的半徑為．