Question

【題目】已知：如圖1，∠ACG=90°，AC=2，點B為CG邊上的一個動點，連接AB，將△ACB沿AB邊所在的直線翻折得到△ADB，過點D作DF⊥CG于點F．

（1）當BC= 時，判斷直線FD與以AB為直徑的⊙O的位置關系，并加以證明；

（2）如圖2，點B在CG上向點C運動，直線FD與以AB為直徑的⊙O交于D、H兩點，連接AH，當∠CAB=∠BAD=∠DAH時，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）直線FD與以AB為直徑的⊙O相切，理由見解析；（2） .

【解析】試題分析：（1）根據已知及切線的判定證明得，直線FD與以AB為直徑的⊙O相切；

（2）根據圓內接四邊形的性質及直角三角形的性質進行分析，從而求得BC的長．

試題解析：

（1）判斷：直線FD與以AB為直徑的⊙O相切．

證明：如圖，

作以AB為直徑的⊙O；

∵△ADB是將△ACB沿AB邊所在的直線翻折得到的，

∴△ADB≌△ACB，

∴∠ADB=∠ACB=90°．

∵O為AB的中點，連接DO，

∴OD=OB=AB，

∴點D在⊙O上．

在Rt△ACB中，BC=，AC=2；

∴tan∠CAB==，

∴∠CAB=∠BAD=30°，

∴∠ABC=∠ABD=60°，

∴△BOD是等邊三角形．

∴∠BOD=60°．

∴∠ABC=∠BOD，

∴FC∥DO．

∵DF⊥CG，

∴∠ODF=∠BFD=90°，

∴OD⊥FD，

∴FD為⊙O的切線．

（2）延長AD交CG于點E，

同（1）中的方法，可證點C在⊙O上；

∴四邊形ADBC是圓內接四邊形．

∴∠FBD=∠1+∠2．

同理∠FDB=∠2+∠3．

∵∠1=∠2=∠3，

∴∠FBD=∠FDB，

又∠DFB=90°．

∴EC=AC=2．

設BC=x，則BD=BC=x，

∵∠EDB=90°，

∴EB=x．

∵EB+BC=EC，

∴x+x=2，

解得x=2﹣2，

∴BC=2﹣2．