Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線：與直線：交于點，已知點的橫坐標為－5，直線與軸交于點，與軸交于點，直線與軸交于點.

（1）求直線的解析式；

（2）將直線向上平移6個單位得到直線，直線與軸交于點，過點作軸的垂線，若點為垂線上的一個動點，點為軸上的一個動點，當的值最小時，求此時點的坐標及的最小值；

（3）已知點、分別是直線、上的兩個動點，連接、、，是否存在點、，使得是以點為直角頂點的等腰直角三角形，若存在，求點的坐標，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）P(﹣3，)．

【解析】

（1）點A在y=-x-8上，點A的橫坐標為﹣5，得到A的坐標，將點A代入yx+b，即可求解；

（2）點D是點C關于直線l4的對稱點，作點A關于x軸的對稱點A'(﹣5，3)，連接AD'交x軸、l4于點N、M，則此時CM+MN+NA最小，最小值為A'D，即可求解；

（3）證明△PNQ≌△EKP(AAS)，則PN=KE，QN=PK，即可求解．

（1）∵點A在y=-x-8上，點A的橫坐標為﹣5，

∴A(﹣5，﹣3)．

將點A代入yx+b，

∴b=4，

∴直線l1的解析式yx+4；

（2）l2：y=﹣x﹣8與y軸的交點D(0，﹣8)．

∵將直線l2向上平移6個單位得到直線l3，直線l3與y軸交于點E，

∴E(0，﹣2)．

∵過點E作y軸的垂線l4，

點D是點C關于直線l4的對稱點，作點A關于x軸的對稱點A'(﹣5，3)，

連接AD'交x軸、l4于點N、M，則此時CM+MN+NA最小，最小值為：A'D，

CM+MN+NA=MD+MN+A'N=A'D，

A'D；∴CM+MN+NA的值最小為；

（3）存在，理由：

設點P、Q的坐標分別為：(m，m+4)、(n，﹣n﹣8)，

過點Q作x軸的平行線交y軸于點M，過點P作PN⊥QM于點N，PN交l4于點K，

易證△PNQ≌△EKP(AAS)，

∴PN=KE，QN=PK，

即：m+4+n+8=﹣m，m﹣nm+4+2，

解得：m=﹣3，n=．

當m=﹣3時，m+4=．

故點P(﹣3，)．