Question

某公司推出了一種高效環保型洗滌用品，年初上市后，公司經歷從虧損到盈利的過程，如圖的二次函數圖象（部分）刻畫了該公司年初以來累積利潤y（萬元）與銷售時間x（月）之間的關系（即前x個月的利潤之和y與x之間的關系）．
（1）根據圖上信息，求累積利潤y（萬元）與銷售時間x（月）的函數關系式；
（2）求截止到幾月末公司累積利潤可達到30萬元？
（3）求第8個月公司所獲利潤是多少萬元？

Answer 1

分析：（1）本題是通過構建函數模型解答銷售利潤的問題，應根據圖象以及題目中所給的信息來列出y與x之間的函數關系式；
（2）把y=30代入累計利潤y=

1

2

x²-2x的函數關系式里，求得月份；
（3）分別把x=7，x=8，代入函數解析=

1

2

x²-2x，再把總利潤相減就可得出．

解答：解：（1）由圖象可知其頂點坐標為（2，-2），
故可設其函數關系式為：y=a（x-2）²-2．
∵所求函數關系式的圖象過（0，0），
于是得：
a（0-2）²-2=0，
解得a=

1

2

．
∴所求函數關系式為：y=

1

2

（x-2）²-2，即y=

1

2

x²-2x．
答：累積利潤y與時間x之間的函數關系式為：y=

1

2

x²-2x；

（2）把y=30代入y=

1

2

（x-2）²-2，
得

1

2

（x-2）²-2=30．
解得x₁=10，x₂=-6（舍去）．
答：截止到10月末公司累積利潤可達30萬元．

（3）把x=7代入關系式，
得y=

1

2

×7²-2×7=10.5，
把x=8代入關系式，
得y=

1

2

×8²-2×8=16，
16-10.5=5.5，
答：第8個月公司所獲利是5.5萬元．

點評：此題主要考查了二次函數的性質在實際生活中的應用，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數模型，尤其是對本題圖象中所給的信息是解決問題的關鍵．