Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AC為對角線，E為AB上一點，過點E作EF∥AD，與AC,DC分別交于點G，F，H為CG的中點，連接DE，EH，DH，FH．下列結論中結論正確的有（ ）

①EG=DF；

②∠AEH+∠ADH=180°；

③△EHF≌△DHC；

④若，則S△EDH=13S△CFH .

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】D

【解析】①∵四邊形ABCD為正方形，EF∥AD，

∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，

∴△CFG為等腰直角三角形，

∴GF=FC，

∵EG=EF﹣GF，DF=CD﹣FC，

∴EG=DF，

故①正確；

②∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，

∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，

在△EHF和△DHC中，

，

∴△EHF≌△DHC（SAS），

∴∠HEF=∠HDC，

∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，

故②正確；

③由②知：△EHF≌△DHC，

故③正確；

④∵，

∴AE=2BE，

∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，

∴FH=GH，∠FHG=90°，

∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，

在△EGH和△DFH中，

，

∴△EGH≌△DFH（SAS），

∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，

∴△EHD為等腰直角三角形，

過H點作HM垂直于CD于M點，如圖所示：

設HM=x，則CF=2x，

∴DF=2FC=4x，

∴DM=5x，DH=x，CD=6x，

則S△CFH=×HM×CF= x2x=x2 ， S△EDH= ×DH2= ×=13x2，

∴則S△EDH=13S△CFH ，故④正確；

其中結論正確的有：①②③④，4個，

故選D．