Question

【題目】對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙C，給出如下定義：若存在過點P的直線l交⊙C于異于點P的A，B兩點，在P，A，B三點中，位于中間的點恰為以另外兩點為端點的線段的中點時，則稱點P為⊙C 的相鄰點，直線l為⊙C關于點P的相鄰線．

（1）當⊙O的半徑為1時，

①分別判斷在點D（，），E（0，），F（4，0）中，是⊙O的相鄰點有__________；

②請從①中的答案中，任選一個相鄰點，在圖1中做出⊙O關于它的一條相鄰線，并說明你的作圖過程．

③點P在直線上，若點P為⊙O的相鄰點，求點P橫坐標的取值范圍；

（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，直線與x軸，y軸分別交于點M，N，若線段MN上存在⊙C的相鄰點P，直接寫出圓心C的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①點和點②見詳解③（2）

【解析】

（1）由相鄰點定義可知：在內的點必為相鄰點；在外的點必須滿足，其中點是的中點且，因此若半徑為的有相鄰點，則的長必須滿足且，分別求出、、到的距離即可判斷；求出直線與坐標軸的交點分別為、，有前面的結論可知點的橫坐標取值范圍為：；

（2）根據（1）可知且，點在線段上移動，因此點在以點為圓心，半徑為的圓內，且不能以點為圓心，半徑為的圓上，再根據點在軸上，即可得出點的橫坐標取值范圍為：．

解：（1）由定義可知，當點在內時，由垂徑定理可知，點必為的相鄰點，此時;

當點在外時，設點是的中點，連接交于點，并延長交于點，連接、，如圖：

∵，

∴

∵

∴

∴

∴

∵點是的中點

∴

∵的半徑為

∴

∴

∵是的弦

∴

∴

∴

∴

∴

∵點在外

∴

∴當點在上，即時，不符合題意；

∴綜上所述，半徑為的，當點與的距離滿足且時，點為的相鄰點．

①∵

∴

∵

∴

∵

∴

∴點和點是的相鄰點；

②連接，過點作的垂線交于、，如圖：

③如圖：

∵當時，

當時，

∴直線與坐標軸的交點為、

∵點在直線上，且點是的相鄰點

∴，

∵點在外

∴

∴點的橫坐標取值范圍為：；

（2）如圖：

∵當時，

∴

∵當時，

∴

∵點是半徑為的的相鄰點

∴且

∴點在以點為圓心，半徑為的圓內，且不能以點為圓心，半徑為的圓上

∵點在軸上

∴點的橫坐標取值范圍為：．

故答案是：（1）①點和點②見詳解③（2）