Question

【題目】（1）如圖1，銳角△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等邊△ABE和等邊△ACD，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關系，并說明理由．

【深入探究】

（2）如圖2，△ABC中，∠ABC=45°，AB=5cm，BC=3cm，分別以AB、AC為邊向外作正方形ABNE和正方形ACMD，連接BD，求BD的長．

（3）如圖3，在（2）的條件下，以AC為直角邊在線段AC的左側作等腰直角△ACD，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）BD =CE，理由見解析；（2）BD長是cm； (3) BD長是(-3)cm．

【解析】試題分析：（1）證明△EAC與△BAD全等即可得證；

（2）連接EC、EB，通過證明△EAC與△BAD 全等，得到BD=CE．由勾股定理可得EC的長，從而可得BD長；

(3)如圖，在線段AC的右側過點A作AE⊥AB于A，交BC的延長線于點E，通過證明△EAC與△BAD全等，從而得BD=CE，從而求得BD長．

試題解析：（1）BD =CE．

理由：∵△ABE和△ACD都是等邊三角形，∴∠BAE=∠CAD=60°，AE=AB，AC=AD，

∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD， ∴△EAC≌△BAD (SAS) ，∴BD=CE．

（2）如圖，連接EC、EB．

在正方形ABNE和正方形ACMD中

∵，AE=AB ，∠BAE=，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，∴△EAC≌△BAD (SAS) ，∴BD=CE．

∵AE=AB=5，∴BE=， ∠ABE=∠AEB=45．

又∵∠ABC=45，∴∠ABC+∠ABE=45+45=90， ∴EC===，

∴BD=CE= (cm)．

答：BD長是cm．

(3)如圖，在線段AC的右側過點A作AE⊥AB于A，交BC的延長線于點E，

∴∠BAE=90，

又∵∠ABC=45，∴∠E=∠ABC=45，∴AE=AB=5，BE==．

又∵∠ACD=∠ADC=45 ，∴∠BAE= ∠DAC=90， ∴∠BAE∠BAC=∠DAC∠BAC，

即∠EAC=∠BAD，∴△EAC≌△BAD (SAS) ， ∴BD=CE．

∵BC=3，∴BD=CE=(-3)(cm)．

答：BD長是(-3)cm．