Question

【題目】如圖,在菱形ABCD中，sinD=,E、F分別是AB,CD上的點，BC=5，AE=CF=2，點P是線段EF上一點，則當△BPC時直角三角形時，CP的長為____________

Answer 1

【答案】4或或

【解析】根據∠D的正弦求出以AD為斜邊的直角三角形的兩直角邊分別為3、4，然后以DC所在的直線為x軸，點F為坐標原點建立平面直角坐標系，根據菱形的對角線互相垂直平方可知點P為菱形的對角線的交點時∠BPC=90°，點P與點E重合時∠BPC=90°；∠BCP=90°時寫出點B、C的坐標，利用待定系數法求一次函數解析式求出直線OE、BC的解析式，再求出CP的解析式，然后聯立直線OE、CP的解析式求出點P的坐標，再利用勾股定理列式計算即可求出CP．

∵sin∠D=，菱形邊AD=BC=5，

∴以AD為斜邊的直角三角形的兩直角邊分別為3、4

如圖，以DC所在的直線為x軸，點F為坐標原點建立平面直角坐標系，

∵菱形ABCD的對角線AC⊥BD，

∴點P為菱形的對角線的交點時∠BPC=90°，

此時，CP=AC=×，

點P與點E重合時∠BPC=90°，

此時，CP=4；

∠BCP=90°時，由圖可知，點B（5，4）、C（2，0），

易求直線OE的解析式為y=2x，

設直線BC的解析式為y=kx+b，

則，

解得，

所以，直線BC的解析式為y=x-，

∵CP⊥BC，

∴設直線CP的解析式為y=-x+c，

將點C（2，0）代入得，-×2+c=0，

解得c=，

所以，直線CP的解析式為y=-x+，

聯立，解得，

所以，點P的坐標為（，），

此時，CP=，

綜上所述，當△BPC是直角三角形時，CP的長為或4或．

故答案為：或4或．