Question

【題目】等邊△ABC的邊長為6，點O是三邊垂直平分線的交點，∠FOG=120°，∠FOG的兩邊OF，OG分別交AB，BC與點D，E，∠FOG繞點O順時針旋轉時，下列四個結論正確的是（ ）

①OD=OE；②；③；④△BDE的周長最小值為9.

A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個

Answer 1

【答案】B

【解析】

連接OB、OC，如圖，利用等邊三角形的性質得∠ABO=∠OBC=∠0CB=30°，再證明∠BOD=∠COE，于是可判斷△BOD≌△COE，所以BD=CE，OD=OE，則可對①進行判斷；利用 得到四邊形ODBE的面積 ，則可對進行③判斷；作OH⊥DE，如圖，則DH=EH，計算出=，利用面積隨OE的變化而變化和四邊形ODBE的面積為定值可對②進行判斷；由于△BDE的周長=BC+DE=4+DE=4+OE，根據垂線段最短，當OE⊥BC時，OE最小，△BDE的周長最小，計算出此時OE的長則可對④進行判斷.

解：連接OB、OC，如圖，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

∵點0是△ABC的中心，

∴OB=OC，OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，

∴∠ABO=∠0BC=∠OCB=30°

∴∠BOC=120°，即∠BOE+∠COE=120°，而∠DOE=120°，即∠BOE+∠BOD=120°，

∴∠BOD=∠COE，

在△BOD和△COE中

∴△BOD2≌△COE，

∴BD=CE，OD=OE，所以①正確；

∴，

∴四邊形ODBE的面積 ，所以③錯誤；

作OH⊥DE，如圖，則DH=EH，

∵∠DOE=120°，

∴∠ODE=∠OEH=30°，

即S△ODE隨OE的變化而變化，

而四邊形ODBE的面積為定值，

所以②錯誤；

∵BD=CE，

∴△BDE的周長=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=4+DE=6+OE，當OE⊥BC時，OE最小，△BDE的周長最小，此時OE=，

.△BDE周長的最小值=6+3=9，所以④正確.

故選：B.