Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋bx＋c與⊙M相交于A、B、C、D四點，其中A、B兩點的坐標分別為(－1，0)，(0，－2)，點D在x軸上且AD為⊙M的直徑．點E是⊙M與y軸的另一個交點，過劣弧ED上的點F作FH⊥AD于點H，且FH＝1.5.

(1)求點D的坐標及該拋物線對應的函數表達式；

(2)若點P是x軸上的一個動點，試求出△PEF的周長最小時點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1）D（4，0），y=x2－x－2；（2）P(2，0)．

【解析】

（1）首先根據圓的軸對稱性求出點D的坐標，將A、B、D三點代入，即可求出本題的答案；

（2）由于點E與點B關于x軸對稱，所以，連接BF，直線BF與x軸的交點，即為點P，據此即可得解．

（1）連接BD．

∵AD是⊙M的直徑，∴∠ABD=90°，∴△AOB∽△ABD，∴．在Rt△AOB中，AO=1，BO=2，根據勾股定理得：AB，∴，∴AD=5，∴DO=AD﹣AO=5﹣1=4，∴D（4，0），把點A（﹣1，0）、B（0，﹣2）、D（4，0）代入y=ax2+bx+c可得：

，解得：，∴拋物線表達式為：；

（2）連接FM．在Rt△FHM中，FM，FH，∴MH2，OM=AM﹣OA，∴OH=OM+MH，∴F（），設直線BF的解析式為y=kx+b，則：，∴直線BF的解析式為：y=x﹣2，連接BF交x軸于點P．

∵點E與點B關于x軸對稱，∴點P即為所求，當y=0時，x=2，∴P（2，0）．