Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BC=6，直線MN∥BC，且分別交邊AB，AC于點M，N，已知直線MN將△ABC分為△AMN和梯形MBCN面積之比為5：1的兩部分，如果將線段AM繞著點A旋轉，使點M落在邊BC上的點D處，那么BD=_____．

Answer 1

【答案】3±

【解析】過點A作AE⊥BC于點E，由AB=AC、∠A=60°，可得出△ABC為等邊三角形，進而可得出BE、AE的長度，由MN∥BC可得出△AMN∽△ABC，根據相似三角形的性質結合直線MN將△ABC分為△AMN和梯形MBCN面積之比為5：1的兩部分，可求出AM的長度，由旋轉的性質可得出AD的長度．在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出DE的長度，再根據BD=BE±DE，即可求出BD的長度．

過點A作AE⊥BC于點E，如圖所示．

∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC為等邊三角形，∴BE=CE=BC=3，AE=BC=3．

∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴=（）2．

∵直線MN將△ABC分為△AMN和梯形MBCN面積之比為5：1的兩部分，∴=（）2=，即（）2=，解得：AM=，∴AD=AM=．

在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=，AE=3，∴DE=，∴BD=BE±DE=3±．

故答案為：3±．