Question

【題目】如圖，P為∠AOB內一定點，M，N分別是射線OA，OB上一點，當△PMN周長最小時，∠OPM＝50°，則∠AOB＝___________．

Answer 1

【答案】40°

【解析】

作P關于OA，OB的對稱點P1，P2．連接OP1，OP2．則當M，N是P1P2與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，根據對稱的性質可以證得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根據等腰三角形的性質即可求解．

如圖：作P關于OA，OB的對稱點P1，P2．連接OP1，OP2．則當M，N是P1P2與OA、OB的交點時，△PMN的周長最短，連接P1O、P2O，

∵PP1關于OA對稱，

∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM=50°

同理，∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，

∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，

∴△P1OP2是等腰三角形．

∴∠OP2N=∠OP1M=50°，

∴∠P1OP2=180°-2×50°=80°，

∴∠AOB=40°，

故答案為：40°